Question

已知数列an满足a1=3,a(n+1)=2an+3^(n+1),(n∈N*),求数列an的通项公式

Answer 1

a(n+1)-2an=3^(n+1)，
2[an-2a(n-1)]=2*3^n，
┄┄
2^(n-1)[a2-2a1]=2^(n-1)*3^(2)；
上式两边相加得：a(n+1)-2^(n)a1=3^(n+1)+2*3^n+┄┄+2^(n-1)*3^(2)
得a(n+1)-3*2^(n)=3^(n+1)+2*3^n+┄┄+2^(n-1)*3^(2)
得a(n+1)=3^(n+1)+2*3^n+┄┄+2^(n-1)*3^(2)+3*2^(n)，
后面这串，是以3*2^(n)为首项，3/2为公比的等比数列的前(n+1)项和
所以a(n+1)={3*2^n*[1-(3/2)^(n+1)]}/(1-3/2) =2*[3*2^n*(3/2)^(n+1)-3*2^n]=3^(n+2)-3*2^(n+1)
所以an=3^(n+1)-3*2^n