Question

设f(x)具有二阶导数f''(x)，证明f''(x)=lim(f(x+h)-2f(x)+f(x-h)

设f(x)具有二阶导数f''(x)，证明f''(x)=lim(f(x+h)-2f(x)+f(x-h))/h^2

Answer 1

解答过程如下：

lim(f(x+h)-2f(x)+f(x-h))/h^2 = lim ((f(x+h)-f(x))/h-(f(x)-f(x-h))/h)/h

= lim (lim(f(x+h)-f(x))/h-lim(f(x)-f(x-h))/h)/h

= lim (f'(x)-f'(x-h))/h

= f''(x)

二阶导数

设f(x)在[a，b]上连续，在（a，b)内具有一阶和二阶导数，那么：

（1）若在（a，b)内f''(x)>0，则f(x)在[a，b]上的图形是凹的。

（2）若在（a，b)内f’‘(x)<0，则f(x)在[a，b]上的图形是凸的。

结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于0，而二阶导数大于0时，为极小值点。当一阶导数等于0，而二阶导数小于0时，为极大值点；当一阶导数和二阶导数都等于0时，为驻点。

Answer 2

先用一次洛必达法则，（注意对h求导，x是定值），分子是f'(x+h)-f'(x-h)，分母是2h，改为0.5*
[f'(x+h)-f'(x)]/h+[f'(x-h)-f'(x)]/(-h)，两部分都用导数的定义得极限是f''（x)

Answer 3

lim(f(x+h)-2f(x)+f(x-h))/h^2 = lim ((f(x+h)-f(x))/h-(f(x)-f(x-h))/h)/h
= lim (lim(f(x+h)-f(x))/h-lim(f(x)-f(x-h))/h)/h
= lim (f'(x)-f'(x-h))/h
= f''(x)