Question

【数学】直线与平面的位置关系

如图：平面a与b相交于直线AB,PC、PD分别垂直于平面a、b、C、D为垂足，求证AB垂直于CD
分析：只须证明AB垂直于平面PCD，进而就能得出AB垂直于CD

疑问：已知PD垂直于a,PC垂直于b 可以得知PC、PD垂直于AB (定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直） 但不能确定PC垂直于b 可以得知PC、PD垂直于AB 在同一点上呀？而且为什么只须证明AB垂直于平面PCD，进而就能得出AB垂直于CD？

Answer 1

已知：PC⊥α，PD⊥β，α∩β=AB
∴PC⊥AB，PD⊥AB
∵PC、PD都在平面△PCD上
由“如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直”
∴AB⊥△PCD
由“如果一条直线与平面垂直，那么这条直线与这个平面内的所有直线都垂直”
∴AB⊥CD

追问

我的疑问是“如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直”
那是这条直线是否要垂直于相交的同一个交点呢？例如，PC⊥AB，PD⊥AB交于某个点？还是只要证明分别垂直于相交的两条线就行了？

追答

只要证明分别垂直于相交的两条线就行
你这题已经是空间几何的范畴了

Answer 2

线面垂直定理：垂直于面的直线，垂直于此面上的任意直线（或定理的推广，记得不是很清楚），已知：PD垂直于b面，PC垂直于a面，则：PD垂直于AB，PC垂直于AB，推出 AB垂直于面PCD，推出 AB垂直于AB。

Answer 3