Question

全微分求原函数

多元函数dz=2xdx-2ydy，dz=d(x^2-y^2)，得z=x^2-y^2+C
一元函数,dy=dx^2,“两边积分”,由积分和微逆运算,可脱掉微分号,得y=x^2+C。
命题：两个函数的全微分相等，则这两个函数至多差一个常数，即 若 df(x,y)=dg(x,y)，则 f(x,y)-g(x,y)=C。
怎么证明呢?这个定理书上好像都没的.

另外,
dz=d(x^2-y^2)
z=x^2-y^2+C
对多元函数来说,是利用如上定理得出的结论吧? 而不是像一元函数那样两边积分吧?因为dz=d(x^2-y^2)含有2个自变量,两边积分的话那对谁积分呢?所以两边积分的角度考虑不对.
谢谢

Answer 1

1、证明：假设f(x,y)-g(x,y)=C+h(x,y)，则固定住y，两边对x求导得，df(x,y)-dg(x,y)=dh(x,y)，因为 df(x,y)=dg(x,y)，所以，dh(x,y)＝0，故固定住y，h(x,y)为一常数，同理，固定住x，两边对y求导， df(x,y)-dg(x,y)=dh(x,y)，因为 df(x,y)=dg(x,y)，所以，dh(x,y)＝0，故h(x,y)为一常数。综上所述， f(x,y)-g(x,y)=C。
2、这是一个多元函数积分得到的。

追问

谢谢
另外,
dz=d(x^2-y^2)
z=x^2-y^2+C
对多元函数来说,是利用如上定理得出的结论吧? 而不是像一元函数那样两边积分吧?因为dz=d(x^2-y^2)含有2个自变量,两边积分的话那对谁积分呢?所以两边积分的角度考虑不对.

我的理解不对？

追答

你的理解是对的。

追问

我的如上理解是对的话，那您说“这是一个多元函数积分得到的。” ?那您指的意思是？

追答

其实我们的意思是一样的。