Question

高等数学中，星形线的面积

4∫0-af(x)dx 我知道他的意思是把4个小面积加起来，可这个怎么知道在0-a上的积分就一定是∫0-af(x)dx？？为什么不是上半个加下半个？它只说对0-a积分，是默认的对x轴以上的函数图像进行积分的吗？

Answer 1

这里是对X积的, 所以∫0-af(x)dx代表的是第一相限的面积, 图形关于X和Y轴都对称,所以乘4就是整个面积，要算上一半，积分区间就要是[-a, a]

Answer 2

因为需要考虑正负号的问题，每一象限积分求面积即为求曲线f(x)与y=0，x=0围成的面积

在第一象限是∫0-af(x)dx,
第2象限是∫-a-0f(x)dx
第3象限是∫-a-0[-f(x)]dx
第4象限是∫0-a[-f(x)]dx

Answer 3

定积分的几何意义：
(1)若f(x)≥0,x∈[a,b]，∫(a→b)f(x)dx的几何意义是曲线y=f(x),x=a,x=b,y=0围成的曲边梯形的面积；
(2)若f(x)≤0,x∈[a,b]，∫(a→b)f(x)dx的几何意义是曲线y=f(x),x=a,x=b,y=0围成的曲边梯形的面积的相反数；
(3)若f(x)在区间[a,b]上有正有负时，∫(a→b)f(x)dx的几何意义为曲线y=f(x)在x轴上方部分之下的曲边梯形的面积取正号，曲线y=f(x)在x轴下方部分之上的曲边梯形的面积取负号，构成的代数和。

Answer 4

第一象限内是一个曲边梯形，曲边梯形的面积用定积分表示成什么形式呢？？这不就是定积分的几何意义嘛