Question

探究函数y=3倍的根号下x-5+3倍的根号下6-x的最大值和最小值

Answer 1

y=3√(x-5)+3√(6-x)，5<=x<=6
设√(x-5)=u、√(6-x)=v。u^2+v^2=1、y=3u+3v。
在平面uOv中，目标函数y=3u+3v与圆u^2+v^2=1有公共点，则-3√2<=y<=3√2
所以，函数y=3√(x-5)+3√(6-x)的最大值为3√2、最小值为-3√2。

Answer 2

是不是y=3*sqrt(x-5)+3sqrt(6-x)?
sqrt表示开方

追问

是的

追答

直接求导就行了……

追问

x-5≥0,9-x≥0,所以5≤x≤9

y=3√(x-5)＋4√(9-x)
≤(9+16)√((9*(x-5)/9＋16* (9-x)/16)/(16+9))
=25√（4/25）
=10

这种解法是根据什么

追答

按照你的答案，我觉得第二个根号里面的是9-x，前面的系数是4吧= =
你的答案里面第一部分的是利用根号里面的不小于零的性质，求出x的取值范围。
第二部分是用了不等式的基本性质。

追问

没看懂答案，第二步用了不等式的什么性质（用字母表示）？

追答

柯西不等式：(a^2+b^2)(c^2+ d^2)≥(ac+bd)^2 ，其中等号当且仅当ad=bc时成立
因为这里不等号两边的式子都是正的，所以对不等号两边开方得sqrt(a^2+b^2)*sqrt(c^2+d^2)≥ac+bd，恰好是题目需要的形式。把a=3,b=4,c=x-5,d=9-x代入不等式即可，求得y的最大值是10。
楼下也提供了一种求解方法（数学规划）。把y看成目标函数，题目化为二元实函数在单一约束条件u^2+v^2=1下的求最值问题。
其实我觉得最不需要理解的方法是求导。我记得以前高中就学过导数，步骤稍微繁琐，但是普适性强，理论上任何函数的极值最值都可以用求导的方法求出来（虽然有些函数的导数不容易求）。对于简单的初等函数，求导完全是代公式的过程，甚至不须要变换技巧。