Question

请问，这道题如何做，请各位老师详细说一下

. 已知函数f（x）=2的-x次方（x小于等于0），f(x-1)(x>=0)，若方程f（x）=ax有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）

Answer 1

函数f(x)是分段函数，可以作出函数f(x)的图像。在x<0的部分，做图像比较容易的，在x>0时，这个函数的图像比较复杂，是在(0，1]、(1，2]、(2，3]，……上的一段一段的图像，而y=ax是过原点的直线，绝对要结合函数图像来确定a的取值范围的。

追问

能在具体一些吗？非常感谢您

追答

当x≤0时，这个函数的图像容易作出的；当x>0时，如0<x≤1时，此时f(x)=f(x－1)，而x－1≤0的，则此时f(x)=2的－(x－1)=1－x次方，那可以先作出2的1－x次方的图像，再截取在(0，1]上的部分，这就组成了函数f(x)在(0，1]上的图像。若1<x≤2，则f(x)=f(x－1)，当x－1还没到x<0区域内，则f(x)=f(x－1)=f(x－2)，此时x－2<0，当1<x≤2时，f(x)=2的－(x－2)=2－x次方，即此时f(x)=2的2－x次方，则可以先作出2的2－x次方的图像，再截取在(1，2]上的部分，这就组成就函数在(1，2]上的图像，其余的一样作的。。所以函数f(x)在x≥0时的图像，就一簇簇的线段组成的，再用数形结合的方法求出a的取值范围。。

追问

麻烦您，写一下具体求a的取值范围的过程，给您添麻烦了，谢谢

追答

当x>0时，f(x)=f(x－1)，即在x>0时，函数f(x)的周期是T=1，则只要确定f(x)在(0，1]时的图像即可。当x∈(0，1]时，f(x)=f(x－1)，而此时x－1∈(－1，0]，则当x∈(0，1]时，f(x)=2的－(x－1)次方=2的(1－x)次方，这是在(0，1]上，值域是[1，2)的一段，看图像【图中红色曲线及曲线段就是函数f(x)的图像】，结合图像，得：a∈[1，2)

追问

可是，我们老师给的答案不是这个，而且当a〈0时，也可能有俩个交点啊，谢谢，请您再看看。

追答

你这一问，我倒真没注意到当a0这个条件的。