Question

设向量a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），其中0＜α＜β＜π，若|2a+b|=|a-2b|，则β-α=？

求过程

Answer 1

解：已知向量a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），
则易得：|a|=|b|=1，且a*b=cosα*cosβ+sinα*sinβ=cos(β-α)
因为|2a+b|=|a-2b|，则|2a+b|²=|a-2b|²
所以4|a|²+4a*b+|b|²=|a|²-4a*b+4|b|²
即8a*b=-3|a|²+3|b|²=0
所以a*b=0
则由上述（1）式可知：cos(β-α)=0 （2）
因为0＜α＜β＜π，则-π<-α<0
所以0<β-α<π
则解（2）式可得：
β-α=90°

Answer 2

2向量a＋向量b＝（2cosα＋cosβ，2sinα＋sinβ），
向量a－2向量b＝（cosα－2cosβ，sinα－2sinβ），
∴｜2向量a＋向量b｜＝√［（2cosα＋cosβ）^2＋（2sinα＋sinβ）^2］，
　｜向量a－2向量b｜＝√［（cosα－2cosβ）^2＋（sinα－2sinβ）^2］，

∴当｜2向量a＋向量b｜＝｜向量a－2向量b｜时，有：
（2cosα＋cosβ）^2＋（2sinα＋sinβ）^2＝（cosα－2cosβ）^2＋（sinα－2sinβ）^2，
∴（2cosα＋cosβ）^2－（cosα－2cosβ）^2＝（sinα－2sinβ）^2－（2sinα＋sinβ）^2，
∴（3cosα－cosβ）（cosα＋3cosβ）＝（3sinα－sinβ）（－sinα－3sinβ），
∴3（cosα）^2＋8cosαcosβ－3（cosβ）^2＝－3（sinα）^2－8sinαsinβ＋3（sinβ）^2，
∴8cosαcosβ＋8sinαsinβ＝0，　∴cos（α－β）＝0，　∴cos（β－α）＝0。

∵0＜α＜β＜π，　∴0＜β－α＜π，　∴β－α＝π/2。