Question

用换元法求定积分。急急急急急！！！！！要详细过程，还望高人指点~

①∫（1到2）1/(3x-1)^2dx；②∫（0到ln2)e^x(1+e^x)^2dx；③∫（0到根号2）x*根号下（2-x^2)dx；④∫(0到π/4)tanx*lncosx dx.

Answer 1

第一题：
令3x－1＝t，则：x＝（t＋1）/3，∴dx＝（1/3）dt。
当x＝1时，t＝3－1＝2，　当x＝2时，t＝3×2－1＝5。
∴原式＝（1/3）∫（上限为5，下限为2）（1/t^2）dt＝－（1/3）/t｜（上限为5，下限为2）
　　　＝－1/（3×5）＋1/（3×2）＝－1/15＋1/6＝1/10

第二题：
令e^x＝t，则：x＝lnt，∴dx＝（1/t）dt。
当x＝0时，t＝1，　当x＝ln2时，t＝2。
∴原式＝∫（上限为2，下限为1）t（1＋t）（1/t）dt＝∫（上限为2，下限为1）（1＋t）d（1＋t）
　　　＝（1/2）×（1＋t）^2｜（上限为2，下限为1）
　　　＝（1/2）×（1＋2）^2－（1/2）×（1＋1）^2＝9/2－4/2＝5/2。

第三题：
令x^2＝t，则：2xdx＝dt，∴xdx＝（1/2）dt。
当x＝0时，t＝0，　当x＝√2时，t＝2。
∴原式＝（1/2）∫（上限为2，下限为0）√（2－t）dt
　　　＝－（1/2））∫（上限为2，下限为0）√（2－t）d（2－t）
　　　＝－（1/2）×（2/3）（2－t）^（3/2）｜（上限为2，下限为0）
　　　＝－（1/3）×（2－2）^（3/2）＋（1/3）×（2－0）^（3/2）＝2√2/3。

第四题：
令cosx＝t，则：sinxdx＝－dcosx＝－dt。
当x＝0时，t＝1，　当x＝π/4时，t＝√2/2。
∴原式＝－∫（上限为√2/2，下限为1）［1/（tlnt）］dt
　　　＝－∫（上限为√2/2，下限为1）lntd（lnt）
　　　＝－（1/2）（lnt）^2｜（上限为√2/2，下限为1）
　　　＝－（1/2）［ln（√2/2）］^2＝－ln（√2/2）＝（1/2）ln2。