Question

在三角形ABC中,角A=90°,AB=AC,D为BC的中点(1)E,F分别是AB,AC上的点,且BE=AF,那么 如题

(2)若E,F分别为AB,CA延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,那么,三角形DEF是否仍为等腰直角三角形?说明你的理由（如图）

Answer 1

做ED延长线EG，过B做KG∥AC,EG与KG相交于G

∵BD=CD,( D是BC的中点 )

∴△KBD≌△FCD(BD=CD,∠FDC=∠BDK,∠BKD=∠CFD)

∴KB=CF,KD=FD，

∵BE=AF,AB=AB

∴AE=CF=KB

∴△KBE≌△EAF( KB=AE,BE=AF,∠KBE=∠EAF=90°）

∴△KDE≌△FD3( KE=FE,KD=FD,ED=ED)

∴∠KDE=∠FDE=90°，

∵∠AEF+∠AFE=90°，且∠BEK=∠AFE(△KBE≌△EAF)

∴∠BEK+∠AEF=90°=∠KEF

∴△KEF是等腰直角三角形,且已知ED是斜边KF的中线垂直平分线

∴△DEF也是等腰直角三角形（等腰直角三角形的斜边中线所分的两个

三角形也是等腰直角三角形

Answer 2

三角形DEF仍为等腰直角三角形。
证明：
等腰直角三角形ABC中，D为BC边上的中点，连接AD，则AD垂直平分BC
所以AD＝BD，角DAB＝角DBA＝45度
因为E、F分别为AB、CA延长线上的点，则有角DAF＝角DAB+角BAF＝45度+90度＝135度
角DBE＝180度－45度＝135度
在三角形DBE和三角形DAF中
DB＝DA，角DBE＝角DAF＝135度，BE＝AF
所以三角形DBE与三角形DAF全等，则有DE＝DF，角EDB＝角FDA
又角FDA+角FDB＝90度，所以角EDB+角FDB＝90度＝角EDF
即FD与ED垂直，又DE＝DF
所以三角形DEF为等腰直角三角形