Question

xln(x+根号1+x的平方)>根号1+x的平方 -1，（x>0）

Answer 1

设f(x)=xln[x+√(1+x²)]+1-√(1+x²), ( x>0)
f'(x)=ln[x+√(1+x²)]+ x*[1+x/√(1+x²)]-x/√(1+x²)
=ln[x+√(1+x²)]+x/√(1+x²)-x/√(1+x²)
=ln[x+√(1+x²)]
因x>0 x+√(1+x²)>1
则f'(x)>ln1=0
所以f(x)是增函数
则f(x)>f(0)=0*ln[0+√(1+0²)]+1-√(1+0²)=1-1=0
所以xln[x+√(1+x²)]+1-√(1+x²)>)
得证

Answer 2

证明：当x＞0时，
xln[x+√(1+x²)]＞-1+√(1+x²)
证明：
构造函数
f(x)=xln[x+√(1+x²)]+1-√(1+x²), x∈[0,+∞)
求导，可得
f'(x)=ln[x+√(1+x²)]≥0
∴该函数在定义域上递增。
∴恒有f(x)＞f(0), x＞0
即恒有f(x)＞0 ( x＞0)
即原不等式成立