Question

已知A是n阶方阵,λ1,λ2是A的两个不同的特征值,X1,X2分别是它们对应的特征向量，证明X1X2线性无关。

Answer 1

首先，证明，x1+x2不是λ1,λ2对应的特征向量。
这个可以用反证，不妨设为λ1对应的特征向量。
根据特征向量的定义，x2也为λ1对应的特征向量，这与x2为λ2对应的特征向量矛盾。（不同的特征值对应的特征向量线性无关，x2与x2显然是相关的）
接下来，x1+x2不是其他特征值对应的特征向量。
原因同样是不同的特征值对应的特征向量线性无关，而x1,x2和x1+x2线性相关。

Answer 2

假设X1，X2线性相关，则X1=kX2,(k≠0),由于AX1=λ1X1，所以A(kX2)=λ1(kX2),kAX2=kλ1X2,AX2=λ1X2,由于AX2=λ2X2，所以λ1X2=λ2X2，(λ1-λ2)X2=0,由于X2是非零向量，所以λ1-λ2=0，λ1=λ2，但这与已知矛盾，所以假设错误，X1，X2线性无关。