Question

已知AB为⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，过A作AD∥OC交⊙O于点D，连结CD．

（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD=2，直径AB=6，求线段BC的长

Answer 1

（1）证明：连接OD，,BD,，因为AD平行OC，所以角,A=角COB,，角ADO=角COD,，因为OA=OD,，所以角A=角ADO，角DOC=角BOC,，因为OD=OB，,CO=OC,，所以三角形CDO和三角形DBO全等（边角边），所以角,CDO=角CBO.，因为BC,是圆O的切线，所以OB垂直CB,，所以角CBO=90度，即CDO=90度，因为OD,是半径，所以CD是圆O的切线。
（2）在直角三角ADB中，有勾股定理得：AB^2=AD^2=BD^2.AD=2，AB=6，BD=4根号2，因为BC是圆的切线，所以角ABC=90度，因为AD平行OC，所以角A=角COB，所以三角形ADB和三角形OBC相似，所以AD/OB=BD/BC,OB=AB/2=6/2=3,2/3=4根号2/BC,BC=6根号2

Answer 2

(1)连接DO，可证明三角形COD与三角形COB全等，从而∠ODB等于∠OBC＝90°，
方法是∠ODA＝∠OAD（等腰三角形），∠ODA＝∠COD，∠BOC＝∠OAD（AD∥OC），通过等量代换。
（2）连接DB，交CO于点E，可证明三角形COB与三角形CEB相似，从而列出等式
CO：CB＝OB：BE．通过三角形中位线可知OE＝1／2AD＝1／2，三角形CED全等于三角形CEB，所以∠CEB＝90°，∴BE＝根号8，又通过勾股定理得到方程BE²＝BC²－CE²，CO＝CE＋OE，把几个方程连接，渴求出BC＝3√8

Answer 3

证明：连接OD
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD．
∵AD∥CO，
∴∠COD=∠ODA，∠COB=∠OAD．
∴∠COD=∠COB．
∵OD=OB，OC=OC，
∴△ODC≌△OBC．
∴∠ODC=∠OBC．
∵CB是圆O的切线且OB为半径，
∴∠CBO=90°．
∴∠CDO=90°．
∴OD⊥CD．
又∵CD经过半径OD的外端点D，
∴CD为圆O的切线．