Question

设函数f(x)在【0，派】上连续，且∫f(x)sinxdx =0,∫f(x)cosxdx =0 两个式子的积分上下限均为0到派

证明：在（0，派）内f(x)至少有两个零点. 我看到你以前的回答， 又因为∫f(x)sin（x-a）dx=cosa∫f(x)sinxdx-sina∫f(x)cosxdx=0
这一句没看懂，能否详解，谢谢~

Answer 1

∫f(x)sinxdx =0,∫f(x)cosxdx =0 (0,π)

let

y = π-x

dy = -dx

∫f(x)cosxdx =0 (0,π)

∫f(π-y)cosy(-dy) =0 (π,0)

∫f(π-x)cosxdx =0 (0,π)

=> ∫ (f(π-x) - f(x) ) cosx =0 (0,π)

similarly

∫ (f(π-x) - f(x) ) sinx =0 (0,π)

（0，派）内f(x)至少有两个零点

基本概念

1.函数变量是x，t为积分变量，两者应注意区别。

2.积分变上限函数和积分变下限函数统称积分变限函数。上式为积分变上限函数的表达式，当x与a位置互换后即为积分变下限函数的表达式，所以我们只讨论积分变上限函数即可。

3.从几何上看，这个积分上限函数Φ(x)表示区间[a，x]上曲边梯形的面积。

积分变限函数与以前所接触到的所有函数形式都很不一样。首先，它是由定积分来定义的；其次，这个函数的自变量出现在积分上限或积分下限。

Answer 2

∫f(x)sinxdx =0,∫f(x)cosxdx =0 (0,π)
let
y = π-x
dy = -dx
∫f(x)cosxdx =0 (0,π)
∫f(π-y)cosy(-dy) =0 (π,0)
∫f(π-x)cosxdx =0 (0,π)
=> ∫ (f(π-x) - f(x) ) cosx =0 (0,π)
similarly
∫ (f(π-x) - f(x) ) sinx =0 (0,π)
（0，派）内f(x)至少有两个零点.

追问

∫ (f(π-x) - f(x) ) cosx =0 这一步可导出？

Answer 3

首先sin(x-a)和差化积公式，sin(x-a)=sinxcosa-cosxsina，然后利用条件，两个0相减当然是0了。

Answer 4

sin（x-a）=sinx*cosa-sina*cosx
因此∫f(x)sin（x-a）dx=∫f(x)（sinx*cosa-sina*cosx）dx
=cosa∫f(x)sinxdx-sina∫f(x)cosxdx=0