Question

高数计算题

1、求微分方程：y''+y'=2xe^x的通解
2、证明x^5-5x+1=0有且仅有一个小雨1 的正实根
3、证明x^3-3x-1=0有一个介于1和2之间的实根

Answer 1

1.先求奇次线性微分方程y''+y'=0的通解，再求特解，通解易求，根据解得的值和e的指数比较来设特解，教科书上有公式，直接代就行。
2.令f(x)=x^5-5x+1,求导得f'(x)=5x^4-5，令等于零求得x=1，当x>1时为增函数，当x<1时为减函数，在x=1取极小值-3；故x^5-5x+1=0有两个根，一个在1右边，一个在1左边；当x=0的时候f(x)>0，根据单调函数性质，可知在1左边的这个根要大于零。即方程有且仅有一根在0和1之间。
3.令f(x)=x^3-3x-1，则f(1)=-3>0 ,f(2)=1<0,由函数的连续性可知，在1和2之间存在f(x)=0。