Question

求下列函数的值域: (1) y=(x^2+2x+3)/x^2; (2)y=(x^2-3x+4)/x; (3)y=3x/(2x^2-1), x∈[2,4]

(4)y=(x+1)/(x^2+x+1); (5)y=(2x^2-x-1)/(x^2+x+1)
要过程

Answer 1

给 你一个方法 你自己做吧
比如 (1) y=(x^2+2x+3)/x^2
首先 确定 定义域 X为 非零实数
离开定义域 就别谈什么 值域了
其次 思路有两方面
一是 变形 方程，结合定义域 讨论值域
二是 利用 图像 结合定义域讨论值域
第一种方法 中学常用，要求观察能力强悍
第二种方法 用微积分一求导，函数拐点 峰值 全出来了 简单的很0
这里 当你是不懂微积分的中学生嘛
变形 y=(x^2+2x+3)/x^2 注意 x≠ 0，
= 1 + 2/x +3/x^2
令 T= 1/X 则 T也为非零实数
于是 y =3T^2 + 2T +1
= 3(T+1/3)^2 + 2/3
看到了 ？ T= -1/3 即 x= -3时 y取得最小值 2/3
当T 趋近于∞ 即 x 趋向于 0时 y趋向于∞
你也可以变形 y=(x^2+2x+3)/x^2 （x≠0）
= [(x+1)^2 +2] / x^2
= [(x+1)^2 / x^2 + 2/x^2
＞ x^2 / x^2 +2/x^2 = 1 + 2/ x^2
得出 一个粗略的 范围 y >1 去对付 选择题
因为 [(x+1)^2 / x^2 + 2/x^2
＞ x^2 / x^2 +2/x^2
毕竟 不是 “＝”，
所有 的后继 推导 都是 建立在这一步缩小 之上
得出的结果 当然 就 缩小了 漏掉了 【2/3，1）这一范围！
所以 (1) y=(x^2+2x+3)/x^2 的值域为 【2/3,，+∞） ；
(2)y=(x^2-3x+4)/x x≠0
=（ x+ 4/x ） -3
请 注意 x 与 4/x 同号且 不等于零
分段讨论
x＞0时 公式 x+4/x ≥2√(x*4/x) = 2*√4=2*2=4
当且仅当 x = 4/x 时 即 x= 2时 取等号
所以 x+4/x≥4
同理
x<0时 （-x）+（-4/x）≥ 2√ （-x）*（-4/x)=2*2=4
即 -（x+4/x） ≥ 4 当x=-2 时 取 等号
所以 x+4/x ≤ - 4
综合一下，y=(x^2-3x+4)/x =（ x+ 4/x ） -3
值域为 实数集 ( - ∞ ，-7】∪ 【4，+∞）
(3)y=3x/(2x^2-1), x∈[2,4]
告诉了 你 x范围 注意到没 ？x≠0 好高兴哟 不用讨论了
分子分母 除以x 于是 y= 3 / [ 2x- 1/x ] 发觉不能用公式；OVER
换个思路 y1=x， x∈[2,4] 属于非负，单增函数
y2=2x^2-1 x∈[2,4] 也属于 非负单增函数
那么 y1 /y2 也一定 是一个 单调 函数 要么单增 要么 单减
好办了 不是 告诉了定义域 两头么？
带入 就可以了 x=2时 y=6/7
x=4时 y=12/31
所以 x∈【2，4】 时， y ∈【12/31，6/7】
是选择题什么的 到此就结束了 这个就是看你敏锐否了
大题 你证明一下 y=3x/(2x^2-1), x∈[2,4] 是个 单减函数就是了
设 2≤a＜b≤4
则 3a/(2a^2 -1) - 3b/(2b^2 -1)
= 【 (b-a)(6ab+3) 】/【 2a^2 -1】 ＞0 搞定！
(4)y=(x+1)/(x^2+x+1); 首先 考察 定义域 X ∈ 实数R 分子都不为0，
配项变形 y=(x+1+x^2 - x^2)/(x^2+x+1)= 1 - 【 x^2 / (x^2+x+1)】
当x=0 时， y=1 ， 当 x≠0 时 除以x^2 继续变形
y = 1- 【1/（1+1/x+1/x^2)】
令 a =1/x 则 a ∈ 实数集R 且a≠0
所以 y=1-{1/【（a+0.5）^2 +3/4 】 a∈R且a≠0
好求了吧？ 当a = - 1/2 即x= - 2 时 y 有最小值 -1/3
当 a趋于∞ 即 x趋于0 时 y趋于最大值1
而前面知道 x=0时 y=1
所以 值域为 y∈【-1/3，1】
y=(2x^2-x-1)/(x^2+x+1)
考察定义域和（4）一样 是实数集R
还是配方 化简先
y =【 2x^2 +2x+2 - 3(x+1)】/(x^2+x+1)
= 2- 3(x+1)/(x^2+x+1)
这不就是第四题么？

Answer 2

(1) y=(x^2+2x+3)/x^2
=1+1/x+3/x^2
令t=1/x,得
y=1+2t+3t^2>=(4*3*1-2*2)/(4*3)=2/3
(2)y=(x^2-3x+4)/x
=x-3+4/x=x+4/x-3
x>0时,y>=2*√(x*4/x)-3=4-3=1
x<0时，y<=-4-3=-7
(3)y=3x/(2x^2-1), x∈[2,4]
设x1<x2
3x1/(2x1^2-1)-3x2/(2x2^2-1)
=[3x1(2x2^2-1)-3x2(2x2^2-1)]／[(2x1^2-1)(2x2^2-1)]
=[6x1x2^2-6x1^2x2+3x2-3x1]/[(2x1^2-1)(2x2^2-1)]
=[6x1x2(x2-x1)+3(x2-x1)]/[(2x1^2-1)(2x2^2-1)]>0
在[2,4]是减函数，所以：12/31≤y≤6/7
(4)y=(x+1)/(x^2+x+1)
=1/[x+1+1/(1+x)]
x+1>0时，x+1+1/(x+1)>=2，y<=1/2
x+1<0 时， 同理， y>=-1/2
x+1=0 时 y=0
y∈[-1/2,1/2]//
(5)y=(2x^2-x-1)/(x^2+x+1)
yx^2+yx+y=2x^2-x-1
(y-2)x^2+(y+1)x+(y+1)=0
x为实数Δ≥0
（y+1)^2-4(y+1)(y-2)≥0
(y+1)(y+1-4y+8)≥0
(y+1)(-3y+9)≥0
(y+1)(y-3)≤0
-1≤y≤3

Answer 3

先将x=2带入，计算出y1，再将x=4带入，计算出y2。

y∈[y1,y2]

Answer 4

不会