Question

已知a²+b²+c²-ab-bc-ca=0,求证a=b=c

Answer 1

因为
已知a²+b²+c²-ab-bc-ca=0
等号两边同乘以2
再拆分后得（a-b）方+（b-c）方+（a-c）方=0
因为每项都大于等于零，相加得零的话一定是每项都得零
所以a=b=c=0

Answer 2

∵2(a²+b²+c²-ab-bc-ca)=0
2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ca=0
a²+b²-2ab +b²+c²-2bc +a²+c²-2ca=0
(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0
而对于任意的x，有x²≥0
所以a=b=c。

Answer 3

a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0
两边乘2
2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0
(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ac+a^2)=0
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
平方大于等于0，相加等于0，若有一个大于0，则至少有一个小于0，不成立。
所以三个都等于0
所以a-b=0,b-c=0,c-a=0
a=b,b=c，c=a
所以a=b=c