Question

离散题：设A={1234}，R为A*A上的二元关系，对存在<a,b><c,d>属于AXA，定义<a,b>R<c,d>推出a+b=c+d

(1)证明R是A*A上的等价关系（2）求出R导出的划分
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Answer 1

（1） (1)对任意a,b,a+b=a+b,故得(a,b)R(a,b),关系R具有自反性;
(2)如果(a,b)R(c,d),则a+b=c+d,c+d=a+b,故得(c,d)R(a,b),
关系R具有对称性;
(3)如果(a,b)～(c,d),(c,d)～(e,f),则a+b=c+d,c+d=e+f,
故得a+b=e+f,(a,b)R(e,f),关系R具有传递性;
于是关系R是等价关系.

(2)A×A={<1,1><1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,1><2,2>,<2,3>,<2,4><3,1>,<3,2><3,3>,<3,4><4,1><4,2><4,3>,<4,4>}
<a,b>R<c,d>＜＝＞a+b=c+d，两个有序对只要两个元素和相等就具有关系R，
根据R的定义，只要两个有序对的两个元素的和相等，两个有序对就在同一个等价类中。S×S中的有序对的两个元素的和只能是2,3,4,5,6,7,8。
和为2的有：<1,1>
和为3的有：<1,2>，<2,1>
和为4的有：<2,2>，<1,3>，<3,1>
和为5的有：<1,4>，<2,3><3,2><4,1>
和为6 的有：<2,4><3,3><4,2>
和为7的有：<3,4><4,3>
和为8 的有：<4,4>
共有这几类