Question

线性代数~

设3阶实对称矩阵A的特征值为1,2,-2，α1=（1,-1,1）^T是A的属于1的特征向量。
B=A^5-4A^3+E
（1）验证α1也是B的特征向量
（2）求B的特征值和特征向量
（3）求B

Answer 1

第一问简单吧，验证Ba1＝－3a1就行了（利用Aa1＝a1）。B的另外两个特征值是
2^5-4*2^3+1=1，（-2）^5-4*(-2)^3+1=1。1是二重特征值。由于B是对称阵，因此属于1
的特征向量与属于－3的特征向量正交，也就是与a1正交。任意一个满足x1-x2+x3=0的非零解向量(x1,x2,x3)都是属于1的特征向量。其基础解系是(1 1 0)和(1 -1 -2)（我已经正交化了）再单位化可得三个正交向量b1＝(1 -1 1)^T/根3，b2＝（1 1 0）^T/根2，b3＝（）^T/根6。Q=[b1 b2 b3]，则Q就是把B化为对角阵的正交阵，因此Q^TBQ=diag(-3 1 1)，B＝Qdiag(-3 1 1)Q^T

追问

请问B是实对称矩阵是为什么？是因为B由A得出么？

追答

对，A是对称，B由A的多项式得到，B^T=B很容易验证的。不好意思，上面的回答中Ba1=-2a1，不是－3a1，把后面的－3也相应的改为－2

Answer 2

（1）A的特征值为z，对应特征向量为α1
B*α1=(A^5-4A^3+E)*α1=A^5*α1-4A^3*α1+E*α1=z^5*α1-4z^3*α1+α1=-2α1
所以α1也是B的特征向量，对应特征值为-2
（2）同理A的特征值为2,-2，对应B的特征值为2，-2（两重），
A3阶实对称矩阵，所以属于不同热政治的特征向量相互正交，解x1-x2+x3=0
解得α2=（1,1，0）^T,α2=（-1,0，1）^T,再加上α1，同时也是B的特征向量
（3）设P=|1 1 -1| C==| -2 |
|-1 1 0| | -2 |
|1 0 1 | | 2|
于是又P^-1 *B *P=C,于是可以解得B

追问

请问B是实对称矩阵是为什么？是因为B由A得出么？