Question

反函数的问题

我看百度百科里的一个反函数求法，例题：求函数3x-2的反函数
　　解：y=3x-2的定义域为R，值域为R.
　　由y=3x-2解得
　　x=1/3(y+2)
　　将x,y互换,则所求y=3x-2的反函数是
　　y=1/3(x+2)（x属于R）
按照如此求法，求x=siny的反函数是y=arcsinx怎么不行？x=siny 就是y=arcsinx么？

Answer 1

不是，不是的
一次函数的反函数仍然是一次函数，所以定义域是R
求x=siny的反函数，如果限制y的取值范围，即-π/2≤y≤π/2,可以说反函数是y=arcsinx
否则不是。因为x=siny的y取值范围是R，而后者y=arcsinx的y,按照反正弦定义取值范围是[-π/2,π/2].
还有，一般不说求x=siny的反函数,而说求y=sinx的反函数。当然要-π/2≤x≤π/2才存在反函数。
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追问

饿，可是可是，我们高数课本上就写的x=siny的反函数事y=arcsinx，很烦人，为什么这样啊？能再解释一下吗，麻烦了。

追答

哦
我说的是在中学范围
如果是在大学，分两种情况：
未学多值函数以前，即单值函数，就是中学的函数。
学习了多值函数以后，“x=siny的反函数是y=arcsinx”可以这样说。但是，为了与单值的反正弦区别起见，一般记为y=Arcsinx.

追问

额，首先谢谢你的回答了，虽然还是没看懂。。我们其实也没有深入学习反函数，只是在求导数的时候略提到而已。

Answer 2

简单意义上说，某些简单函数的反函数可以是x与y互相调换，但大多数函数不是，求反函数的方法和解方程类似，如y=3x-2 求出x=(y+2)/3 即反函数的形式出来，一般都是表示成y与x的函数关系，于是就写成y=(x+2)/3。再如y=sinx，则x=arcsiny，所以反函数为y=arcsinx。

追问

再如y=sinx，则x=arcsiny，所以反函数为y=arcsinx。y=arcsinx的反函数不是x=siny么？

Answer 3

x=siny时，你得知道的是y是函数，而不是x是函数，所以先把它化成y=……，那就应该是y=arcsinx。得到此式时，要求反函数，将x反解出来，就是x=siny,再将x换成y，y换成x，就得到了y=sinx。至于定义域，很好求，求原函数的值域就可以了，可以很清楚的知道，那个值域就是全体实数，即R。

追问

我现在不想值域的问题，只想你说的y=arcsinx的反函数是y=sinx，而实际上应该是x=siny啊？为什么你说的跟题不一样呢？