Question

高一数学三角恒等变换问题

已知a属于(派/4,派3/4),cos a+根号3sin a=1,则a为

Answer 1

解：1/2cos a+二分之根号3sin a=1/2
得：1/2=1/2cos a+二分之根号3sin a
=sin（π/6）cos a+ cos（π/6）sin a
=sin(π/6 + a)
又a属于（π/4，3π/4），即π/6 + a属于（5π/12，11π/12），
所以 π/6 + a = 5π/6
即a = 2π/3

追问

能用两角差的余弦公式推一遍吗？拜托了

追答

解：好的，
1/2=1/2cos a+二分之根号3sin a
=cos（π/3）cos a+ sin（π/3）sin a
=cos(π/3 - a)
又a属于（π/4，3π/4），即π/3 - a属于（π/12，-5π/12），
所以 π/3 - a = -π/3
即a = 2π/3

Answer 2

cos a+根号3sin a
=2(1/2cosa+根号3/2sina)
=2(sin30cosa+cos30sina)
=2sin(30+a)
=1
即sin（30+a）=1/2
a=7派/12 (十二分之七派)

Answer 3

cosα +√3sinα = 2sin（α +β）= 1
tanβ = 1/√3
β=π/6
sin（α +π/6）=1/2
α=2π/3

Answer 4

a属于(派/4,派3/4)
则a/2属于(派/8,派3/8),
cos a+根号3sin a=1
根号3sin a=1-cos a
2倍根号3sin (a/2)cos (a/2)=2sin (a/2)sin (a/2)
tan (a/2)=根号3
(a/2)=arctan根号3=π/3，且π/3属于(派/8,派3/8),
所以a=2π/3