Question

求证不等式

Answer 1

(1)先证明左边的不等式:
0＜ln(1+x)-[(xlnx)/(1+x)] （X＞0）
即证（1+x)ln(1+x)-xlnx ＞0
领F（X)=（1+x)ln(1+x)-xlnx
F'(x)=ln(1+x)+1-(lnx +1)
=ln(1+1/x)
显然，当＞1时，F'(x)＞0，
∴F(X)在 x∈(1, +∞)是增函数 而F(1)=2ln2
故F(X)>F(1)=2ln2>0
即 F(X)>0，
所以（1+x)ln(1+x)-xlnx ＞0 故左边得证。
（2）同理，右边等价于证 （1+x)lnx-xlnx-2√xln2 ≤0
令G(X)=（1+x)lnx-xlnx-2√xln2
G'(X)=ln(1+1/x)-ln2/√x
令G'(X)=0
即ln(1+1/x)-ln2/√x
知X=1是G(X)的一个极值点，
当 x∈(0, 1)，时G'(X)≥0
当 x∈(1, +∞)，时G'(X)≤0
∴X=1是G(X)的极大值点，而G(1)=0
故G(X)≤G(1)=0
即（1+x)lnx-xlnx-2√xln2 ≤0，
故右边得证。
综上（1） （2） 原不等式得证.
希望对你有帮助！

追问

你怎么知道G'(X)是单调的呢？

追答

恩 这个问题的却存在 方程几乎解不出来 G'(X)的单调性也不好求！方法上有问题吧

Answer 2

[[[1]]]
易知, x∈(0, +∞)
[[[2]]]
先证明左边的不等式:
0＜ln(1+x)-[(xlnx)/(1+x)]
∵x＞0.
∴该不等式可化为:
xlnx＜(1+x)ln(1+x)
①
当0＜x＜1时,
易知xlnx＜0
且(1+x)ln(1+x)＞0
∴当0＜x＜1时,有xlnx＜(1+x)ln(1+x)
②
当x=1时,显然有xlnx=0＜2ln2=(1+x)ln(1+x)
③
当x＞1时,构造函数f(x)=xlnx x∈(1, +∞)
求导,f'(x)=(lnx)+1＞0
∴在(1, +∞)上,函数f(x)递增,
∴xlnx＜(x+1)ln(1+x)
综上可知, 当x＞0时,恒有xlnx＜(x+1)ln(x+1)
即0＜ln(1+x)-[(xlnx)/(x+1)]
[[[3]]]
思考中