Question

数学求不定积分

什么情况下用凑微分法？什么情况下用换元法？

Answer 1

这个其实真的很复杂，具体问题要具体分析的，积分的难点就在于没有固定方法。

这个问题笼统点回答就是：
1、当我们遇到 ∫ f(g(x))g'(x)dx 时，如果发现 ∫f(u)du这个积分较简单，
则将 ∫ f(g(x))g'(x)dx= ∫ f(g(x))d (g(x))，来计算，这就是凑微分法（也叫第一类换元）；
2、换元法正好相反，我们遇到的是∫f(u)du，不好做，需要令u=g(x)化为∫ f(g(x))g'(x)dx，
并且∫ f(g(x))g'(x)dx较为简单，这个时候用换元法（也叫第二类换元）。

简单来说就是：凑微分是∫ f(g(x))g'(x)dx= ∫ f(g(x))d (g(x))
换元法是倒过来：∫ f(g(x))d (g(x))=∫ f(g(x))g'(x)dx
另外理论上来说，两个方法是相通的，能用这个就一定能用另一个，当然实际当中观察会有很大困难。

Answer 2

其实这个说没办法说清楚的，主要是靠做题的经验，因为题型实在太多了！