求曲线所围成图形的面积 ρ=2acosθ,用定积分算
为什么用定积分算的时候θ范围只取(-π/2→π/2),他不是一个圆吗,θ范围不是应该为(0→2π)吗...
为什么用定积分算的时候θ范围只取(-π/2→π/2),他不是一个圆吗,θ范围不是应该为(0→2π)吗
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解题过程如下:
cosθ=ρ/2a>=0
所以θ范围是(-π/2,π/2)
S=∫1/2*ρ^2dθ
=∫2a^2cosθdθ
=a^2∫(1+cos2θ)dθ
=a^2+1/2a^2sin2θ
积分范围是(-π/2,π/2)
故S=a^2(π/2+π/2)
=πa^2
扩展资料
定积分与不定积分之间的关系:若定积分存在,则它是一个具体的数值(曲边梯形的面积),而不定积分是一个函数表达式,它们仅仅在数学上有一个计算关系(牛顿-莱布尼茨公式),其它一点关系都没有!
一个函数,可以存在不定积分,而不存在定积分;也可以存在定积分,而不存在不定积分。一个连续函数,一定存在定积分和不定积分;若只有有限个间断点,则定积分存在;若有跳跃间断点,则原函数一定不存在,即不定积分一定不存在。
即已知导数求原函数。若F′(x)=f(x),那么[F(x)+C]′=f(x).(C∈R C为常数).也就是说,把f(x)积分,不一定能得到F(x),因为F(x)+C的导数也是f(x)(C是任意常数)。所以f(x)积分的结果有无数个,是不确定的。我们一律用F(x)+C代替,这就称为不定积分。即如果一个导数有原函数,那么它就有无限多个原函数。
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因为这里极坐标半径取标准规定,为正数,用以表示几何中的长度(长度总是正数)a是参数,规定大于零的(表示起始位置θ=0时的半径)
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的确可以证明 ρ=2acosθ 取(-π/2→π/2)是一个以(a,0)为圆心,半径为a的圆。不过,出题人要你用定积分你就得用定积分啊。
1/2(2acosθ)^2dθ从-π/2到π/2积分,半角公式变形为a^2(1+cos2θ)dθ,同样也会得到πa^2。
1/2(2acosθ)^2dθ从-π/2到π/2积分,半角公式变形为a^2(1+cos2θ)dθ,同样也会得到πa^2。
追问
怎么证明啊,我现在就是弄不清范围,总觉得 ρ=2acosθ 取(-π/2→π/2)是个半圆
追答
最开始我也想错了,这种角坐标系通ρ应该不取负值吧,所以θ也不能取-π到-π/2这样的值了。对这块我也不是太熟了,我是把曲线坐标转化为直角坐标,然后证明曲线上的点到(a,0)的距离均为a,但我不知道怎么证明它是一段完整的圆弧,在这种角坐标系里面怎么证明一段曲线连续和封闭(感觉上应该是的),大概描了几个点,可以看出它是一个完整的圆。
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追问
有没有更简单一点的方法啊,考试时也要这样推来推去的麽,还是说无论什么情况,用定积分算圆的面积时,θ都是取(-π/2→π/2)?
追答
因为你弄不清楚范围,所以我才证明曲线的形状与范围的。一般来说,考试时定积分计算是不需要这些步骤的。对于积分范围,是要具体情况具体分析的。极坐标下如果 ρ=2a,那么只有当(0→2π)时才是个圆。
只是针对做题来说,我一直认为最简单的判断方法还是画图。将特殊值标记下来可以很快的绘出图形大致的形状,从而迅速判断大致的积分区间。比如本题,cosθ在-π/2、π/2的值均为0,那么(-π/2→π/2)区间的曲线必然是闭合的,然后绘图发现本曲线有左右两个闭合区域,所以可以推断其中一个的积分区间为(-π/2→π/2)。
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(x^2+y^2)^0.5=2ax/(x^2+y^2)^0.5
(x-a)^2+y^2=a^2
S=Pia^2
(x-a)^2+y^2=a^2
S=Pia^2
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