Question

求曲线所围成图形的面积 ρ=2acosθ，用定积分算

为什么用定积分算的时候θ范围只取（-π/2→π/2），他不是一个圆吗，θ范围不是应该为（0→2π）吗

Answer 1

解题过程如下：

cosθ=ρ/2a>=0

所以θ范围是（-π/2,π/2)

S=∫1/2*ρ^2dθ

=∫2a^2cosθdθ

=a^2∫(1+cos2θ)dθ

=a^2+1/2a^2sin2θ

积分范围是（-π/2,π/2）

故S=a^2(π/2+π/2)

=πa^2

扩展资料

定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它一点关系都没有！

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

即已知导数求原函数。若F′(x)=f(x)，那么[F(x)+C]′=f(x).(C∈R C为常数).也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C的导数也是f(x)（C是任意常数）。所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的。我们一律用F(x)+C代替，这就称为不定积分。即如果一个导数有原函数，那么它就有无限多个原函数。

Answer 2

因为这里极坐标半径取标准规定，为正数，用以表示几何中的长度（长度总是正数）a是参数，规定大于零的（表示起始位置θ=0时的半径）

Answer 3

的确可以证明 ρ=2acosθ 取（-π/2→π/2）是一个以(a,0)为圆心，半径为a的圆。不过，出题人要你用定积分你就得用定积分啊。

1/2(2acosθ)^2dθ从-π/2到π/2积分，半角公式变形为a^2(1+cos2θ)dθ，同样也会得到πa^2。

追问

怎么证明啊，我现在就是弄不清范围，总觉得 ρ=2acosθ 取（-π/2→π/2）是个半圆

追答

最开始我也想错了，这种角坐标系通ρ应该不取负值吧，所以θ也不能取-π到-π/2这样的值了。对这块我也不是太熟了，我是把曲线坐标转化为直角坐标，然后证明曲线上的点到（a,0）的距离均为a，但我不知道怎么证明它是一段完整的圆弧，在这种角坐标系里面怎么证明一段曲线连续和封闭（感觉上应该是的），大概描了几个点，可以看出它是一个完整的圆。

Answer 4

公式太多，直接弄成图片了，还不懂的话就追问吧

追问

有没有更简单一点的方法啊，考试时也要这样推来推去的麽，还是说无论什么情况，用定积分算圆的面积时，θ都是取（-π/2→π/2）？

追答

因为你弄不清楚范围，所以我才证明曲线的形状与范围的。一般来说，考试时定积分计算是不需要这些步骤的。对于积分范围，是要具体情况具体分析的。极坐标下如果 ρ=2a，那么只有当（0→2π）时才是个圆。

只是针对做题来说，我一直认为最简单的判断方法还是画图。将特殊值标记下来可以很快的绘出图形大致的形状，从而迅速判断大致的积分区间。比如本题，cosθ在-π/2、π/2的值均为0，那么（-π/2→π/2）区间的曲线必然是闭合的，然后绘图发现本曲线有左右两个闭合区域，所以可以推断其中一个的积分区间为（-π/2→π/2）。

Answer 5

(x^2+y^2)^0.5=2ax/(x^2+y^2)^0.5
(x-a)^2+y^2=a^2
S=Pia^2