Question

高中函数问题！！

已知f(x)是定义在[-6，6]上的奇函数，它在[0，3]是一次函数，在[3，6]上是二次函数，且当x属于[3，6]时，f(x)≦f(5)=3,f(6)=2,求f(x)的解析式。

Answer 1

首先看x属于[3,6]的情况，既然有f(x)≦f(5)=3，而且显然 5 并不是 [3,6] 这个区间的端点，说明 x=5 是这个二次函数的对称轴，二次函数在这里取得最大值，所以可以写出二次函数解析式如下
f(x) = a(x-5)^2 + b
把 f(5) = 3 和 f(6) = 2 代入，可得 a = -1 , b = 3 , =>
f(x) = -(x-5)^2+3 ( 3<=x<=6 )
再考虑x属于[0,3]的情况，因为是奇函数，所以过原点，可以写出解析式
f(x) = ax
下面要注意题中已知条件，两个区间给的都是闭区间，这就说明这个函数在 x = 3 这个点是连续的，所以有
3a = -1
=> a = -1/3
综上可以写出函数解析式如下
(x+5)^2-3 -6<=x<=-3
f(x) = -1/3x -3<=x<=3
-(x-5)^2+3 3<=x<=6

Answer 2

解：当x属于[3，6]时，f(x)≦f(5)=3，即f(x)在x=5时有最大值，
故设f(x)=a(x-5)^2+3,x∈[3，6]
又f(6)=2,可得a=-1
又f(x)是定义在[-6，6]上的奇函数
有f(0)=-f(0),可得f(0)=0,
又f(3)=-(3-5)^2+3=-1,f(x)在[0，3]是一次函数
故f(x)=-x/3,x∈[0，3]
综上可得f(x)=-(x-5)^2+3,x∈[3，6]
f(x)=-x/3,x∈(-3，3)
f(x)=(x+5)^2-3,x∈[-6，-3]