Question

求下列微分方程满足初始条件的特解y'=(y^2-2xy-x^2)/(y^2+2xy-X^2) y|x=1=1

答案是：（x+y)(x^2+y^2)=4x^2 求详细过程

Answer 1

本题是高数教材中的微分方程第二种解法，齐次方程
右边分子分母同除以x^2，得：
y'=[(y/x)^2-2(y/x)-1]/[(y/x)^2+2(y/x)-1]
令y/x=u，y=xu，y'=u+xu'
则原方程化为：u+xu'=[u^2-2u-1]/[u^2+2u-1]
整理得：x(du/dx)=-(u^3+u^2+u+1)/(u^2+2u-1)
分离变量得：-(u^2+2u-1)/(u^3+u^2+u+1)du=dx/x
-(u^2+2u-1)/[(u+1)(u^2+1)]du=dx/x
令-(u^2+2u-1)/[(u+1)(u^2+1)]=A/(u+1)+(Bu+C)/(u^2+1)
比较后得：A=1，B=-2，C=0
则微分方程化为：[1/(u+1)-2u/(u^2+1)]du=dx/x
两边积分得：ln|u+1|-ln(u^2+1)=ln|x|+ln|C|
即：(u+1)/(u^2+1)=Cx
将u换回y/x
(y/x+1)/((y/x)^2+1)=Cx
即(y+x)/(y^2+x^2)=Cx^2
将y(1)=1代入得：C=1
(y+x)/(y^2+x^2)=x^2
检查你的答案吧，我觉得我算得没错。