Question

等差数列问题，高手请进

边数为N的 凸多边形内角度数成AP，如果公差是5度，最大角160度，则N=？
差数列a(n)中a10<0,a11>0且a11>a10的绝对值，则a(n)的前n项和Sn中最大负数为？
差数列a(n)中前n项和Sn=m,前m项和Sm=n(m>n)求前m+n项和Sm+n

Answer 1

凸多边形内角和=(n-2)*180
最大角是160,公差是5
所以最小角=160-5(n-1)
则内角和=n(320-5n+5)/2=180n-360
325n-5n^2=360n-720
n^2+7n-144=0
(n+16)(n-9)=0
n=-16(舍去)或n=9
所以是9边形

a10=a1+9d<0
a11=a1+10d>0
所以公差d>0,那么a1小于0
因为a11>a10的绝对值
所以a1+10d>|a1+9d|
a1+10d>-a1-9d
2a1>-19d
a1>-19d/2
因为Sn=n*(a1+a1+(n-1)d)/2=n(2a1+(n-1)d)/2
>n(-19d+(n-1)d)/2
=(n^2-20n)d/2
如果a(n)的前n项和Sn得到最大负数,因为d>0
那么n^2-20n要取到最大负数，
因为当n=10时，n^2-20n值最小，当n=0和20时，n^2-20n=0
所以当n=1和19时，n^2-20n取最大负数
又因为n(2a1+(n-1)d)/2>(n^2-20n)d/2,经检验，舍去n=1
当n=19时，Sn为最大负数

Sm=a1m+m(m-1)d/2=n (1)
Sn=a1n+n(n-1)d/2=m (2)
(1)-(2)
a1(m-n)+(m+n-1)(m-n)d/2=n-m
a1+(m+n-1)d/2=-1
a1=-1-(m+n-1)d/2
Sm+n=a1(m+n)+(m+n)(m+n-1)d/2
=[-1-(m+n-1)d/2](m+n)+(m+n)(m+n-1)d/2
=-(m+n)

Answer 2

(1)解：
180N-360=160-5N(N-1)/2
化简得：35N+N*N=144
即N（7+N）=9*16
解得N=9
答案为9~