Question

sinA:sinB:sinC = a:b:c 是怎样推出来的？（请写出详细过程）

Answer 1

设一个直角三角形ABC，C为直角，可得sinA=a/c,sinB=b/c,sinC=sin90°=1=c/c，所以得出sinA:sinB:sinC = a:b:c
另可以：在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。
作CH⊥AB垂足为点H 　　
CH=a·sinB 　　
CH=b·sinA 　
∴a·sinB=b·sinA 　　
得到 　　a/sinA=b/sinB 　　
同理，在△ABC中， 　　
b/sinB=c/sinC
得出sinA:sinB:sinC = a:b:c

Answer 2

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
　　即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（2R在同一个三角形中是恒量，是此三角形外接圆的半径的两倍）
　　这一定理对于任意三角形ABC，都有
　　a/sinA=b/sinB=c/sinC
[编辑本段]证明
　　步骤1.
　　在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H
　　CH=a·sinB
　　CH=b·sinA
　　∴a·sinB=b·sinA
　　得到
　　a/sinA=b/sinB
　　同理，在△ABC中，
　　b/sinB=c/sinC
　　步骤2.
　　证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：
　　如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.
　　作直径BD交⊙O于D.
　　连接DA.
　　因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度
　　因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.
　　所以c/sinC＝c/sinD=BD=2R
　　a/SinA=BC/SinD=BD=2R
　　类似可证其余两个等式。
[编辑本段]意义
　　正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，又由正弦函数在区间上的单
　　调性可知，正弦定理非常好的描述了任意三角形中边与角的一种数量关系。
[编辑本段]扩展
　　一.三角形面积公式：
　　1.海伦公式:
　　设P=1/2(a+b+c)
　　S△=根号下P(P-a)(P-b)(P-c)
　　解释:假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：
　　S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
　　而公式里的p为半周长：
　　p=(a+b+c)/2
　　2. S△ABC=ab·sinC/2=bc·sinA/2=ac·sinB/2=abc/(4R)[R为外接圆半径]
　　3.S△ABC=ah/2
　　二. 正弦定理的变形公式
　　(1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC;
　　(2) sinA : sinB : sinC = a : b : c;
　　（条件同上）
　　在一个三角形中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解似的唯一的；已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及“大边对大角，大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题
　　(3)相关结论:
　　a/sinA=b/sinB=c/sinC=a+b/sinA+sinB=a+b+c/sinA+sinB+sinC

Answer 3

见链接