Question

关于线性代数的题：见问题补充

1.设向量组α（阿尔法）1，α2，α3线性相关，向量组α2，α3，α4线性无关，问（1）α1能否由α2，α3线性表示？并证明你的结论（2）α4能否由α1，α2，α3线性表示，证明你的结论
2.设（Ⅰ）α1，α2，α3；（Ⅱ）α1，α2，α3，α4；（Ⅲ）α1,α2，α3，α5，若各向量组的秩分别为：R（Ⅰ）=R（Ⅱ）=3，R（Ⅲ）=4.证明：向量组α1，α2，α3，α5-α4的秩为4.

Answer 1

1、α2,α3,α4线性无关，则α2,α3也线性无关，又α1,α2,α3线性相关，则α1能由α2，α3线性表示。
α4不能由α1，α2，α3线性表示。否则，若α4能由α1，α2，α3线性表示，又α1能由α2，α3线性表示，则α4能由α2，α3线性表示，这与向量组α2，α3，α4线性无关矛盾了。
2、R(I)=3说明α1，α2，α3线性无关。R(II)=3说明α1,α2,α3,α4线性相关。所以α4能由α1，α2，α3线性表示。R(III)=4说明α1,α2，α3，α5线性无关，所以α5不能由α1，α2，α3线性表示。所以α5-α4不能由α1，α2，α3线性表示。又α1，α2，α3是线性无关的，所以α1，α2，α3，α5-α4线性无关，即秩为4
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主要是用到了一个结论：若向量组α1，α2，...，αr线性无关，向量组α1，α2，...，αr，β线性相关，则β可以由α1，α2，...，αr线性表示。

Answer 2

第二题很明显各项系数都是0 所以 秩是4