Question

高中数学 导数简单题

设函数f(x)=e^x-x。设不等式f(x)＞ax的解集为P,且{x|0<=x<=2}属于P,求实数a的取值范围。

求解求解~

Answer 1

令g(x)=f(x)-ax=e·x-x-ax
不等式f(x)＞ax的解集为P,且{x|0<=x<=2}属于P,
等价于g（x）>0,在x属于【0,2】恒成立
即e·x-x-ax>0
当x=0时，1>0恒成立，此时a属于R
当x属于（0,2】时，由e·x-x-ax>0，得a<(e·x-x)/x
令h（x）=（e·x-x)/x
则导数h'(x)=e·x(1-x)/x·2，令h'(x)=0，则x=1
易得当x=1时，h（x）取最小值e-1
所以a<e-1

Answer 2

即说明
e^x-x>ax 在【0,2】上恒成立
因为 x=0时，显然成立
只需考虑 e^x-x>ax 在（0,2】上恒成立
所以 e^x/x-1>a在（0,2】上恒成立
令 g(x)=e^x/x -1
所以 g(x)的最小值>a
g'(x)=(e^x*x-e^x)/x²=e^x(x-1)/x²
0<x<1,g'(x)<0
1<x<2 ,g'(x)>0
g(x)在（0,1）上递减，在（1,2）递增
所以 g(x)的最小值为g(1)=e-1
所以 a<e-1