Question

二次函数题

已知抛物线y=-1/2x^2+bx+4上有不同的两点E(k+3,-k^2+1)和F(-k-1,-k^2+1).（1）求抛物线的解析式.

Answer 1

是这题吗？

题目：已知抛物线 y=-12x2+bx+4上有不同的两点E（k+3，-k2+1）和F（-k-1，-k2+1）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，抛物线 y=-12x2+bx+4与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，M为AB的中点，∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转，且∠PMQ=45°，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D．设AD的长为m（m＞0），BC的长为n，求n和m之间的函数关系式；

（3）当m，n为何值时，∠PMQ的边过点F？

解：（1）抛物线 y=-12x2+bx+4的对称轴为 x=-b2×(-12)=b；（1分）

∵抛物线上不同两个点E（k+3，-k2+1）和F（-k-1，-k2+1）的纵坐标相同，

∴点E和点F关于抛物线对称轴对称，则 b=(k+3)+(-k-1)2=1，且k≠-2；

∴抛物线的解析式为 y=-12x2+x+4；（2分）

（2）抛物线 y=-12x2+x+4与x轴的交点为A（4，0），与y轴的交点为B（0，4），

∴AB= 42，AM=BM= 22；（3分）

在∠PMQ绕点M在AB同侧旋转过程中，∠MBC=∠DAM=∠PMQ=45°，

在△BCM中，∠BMC+∠BCM+∠MBC=180°，即∠BMC+∠BCM=135°，

在直线AB上，∠BMC+∠PMQ+∠AMD=180°，即∠BMC+∠AMD=135°；

∴∠BCM=∠AMD，

∴△BCM∽△AMD；（4分）

∴ BCAM=BMAD，即 n22=22m， n=8m；

故n和m之间的函数关系式为 n=8m（m＞0）；（5分）

（3）∵F（-k-1，-k2+1）在 y=-12x2+x+4上，

∴ -12(-k-1)2+(-k-1)+4=-k2+1，

化简得，k2-4k+3=0，∴k1=1，k2=3；

即F1（-2，0）或F2（-4，-8）；（6分）

①MF过M（2，2）和F1（-2，0），设MF为y=kx+b，

则 {2k+b=2-2k+b=0，解得 {k=12b=1；

∴直线MF的解析式为 y=12x+1；

直线MF与x轴交点为（-2，0），与y轴交点为（0，1）；

若MP过点F（-2，0），则n1=4-1=3，m1= 83；

若MQ过点F（-2，0），则m2=4-（-2）=6，n2= 43；（7分）

②MF过M（2，2）和F1（-4，-8），设MF为y=kx+b，

则 {2k+b=2-4k+b=-8，解得 {k=53b=-43；

∴直线MF的解析式为 y=53x-43；

直线MF与x轴交点为（ 45，0），与y轴交点为（0， -43）；

若MP过点F（-4，-8），则n3=4-（ -43）= 163，m3= 32；

若MQ过点F（-4，-8），则m4=4- 45= 165，n4= 52；（8分）

故当 {m1=83n1=3， {m2=6n2=43， {m3=32n3=163或 {m4=165n4=52时，∠PMQ的边过点F．

Answer 2

解：由E(k+3,-k^2+1)和F(-k-1,-k^2+1).的纵坐标相等，及抛物线关于对称轴对称知：对称轴x=（-k-1+k+3）\2=1,即-b\2a=b=1.得y=-1/2x^2+x+4

Answer 3

由E、F的纵坐标相等。可知(k+3+-k-1)/2=2b b=1/2 所以y=-1/2x^2+1/2x+4上