Question

高二数学题求解！！证明：函数f（x）在（-1，+无穷）上为增函数

已知函数f（x）=a^x+(x-2)/(x+1) (a>1).
如题是第一问，第二问：用反证法证明：方程f（x）=0没有负根。

Answer 1

(1)
x2>x1>-1
f(x2)-f(x1)=ax2^2+(x2-2)/(x2+1)-ax1^2-(x1-2)/(x1+1)
=a(x2-x1)(x2+x1)-(x2-x1)/[(x2+1)(x1+1)]
=(x2-x1)[a(x2+x1)-3/(x2+1)(x1+2)]
>0
函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数，
(2)
在（负无穷，-1）或（-1，正无穷）
对f(x)求导分别都为单调递增函数
又f（0）=-1
f（负数）>0 【函数图像】

假设f(X)=0有负根
1.在（负无穷，-1）上有f（x）=0
与f（负数）>0 矛盾
2.在（-1，正无穷）中的（-1，0）上
f(X)=0
f(x)求导分别都为单调递增函数
所以与x>0才有 f(X)=0矛盾
综上f(X)=0没有负根

【反证法要灵活点，不要被书上的格式所局限】