Question

设A为n阶非零实矩阵，A*=AT，其中A*为A的伴随矩阵。证明：A可逆

Answer 1

A为非零矩阵 所以A的秩>0
假设A不可逆 则A的秩<n
(1) A的秩 r(A)=n-1，|A|=0 |A|E=0 利用r(AB)>=r(A)+r(B)-n可知 0=r(|A|E)=r(A*A)>=r(A*)+r(A)-n
=r(A*)-1 从而r(A*)<=1 注意到r(A)=n-1 所以A至少存在一个n-1级子式不为0 从而A*至少有一个元素不为0 从而r(A*)>0 从而r(A*)=1 于是r(AT)=r(A)=r(A*)=1 从而n=2 这个时候验证一下就知道不存在这样的A
(2)A的秩 r(A)<=n-2，那么注意到A的所有n-1子式都为0 那么A*的所有元素都是0 从而A*的秩为0
那么r(AT)=r(A)=0 矛盾