Question

一道AP微积分题

Which of the following functions is not odd?
有个选项我知道它是odd function，但只有感觉，无法从式子上看出来：
f(x)=x/(x^2+1)，怎么把它化成多项式的样子再直接通过次数判断奇偶？

Answer 1

这个好办，不就是想把f(x)=x/(x^2+1)，展开成幂级数吗。
积分f（x）=1/2ln(1+x~2)+c=1/2(x~2-1/2x~4+.....)
后面是taylor展开，不过把x换成x~2而已。
之后再两边求导，发现右边的幂级数所有的x的指数一定是奇数。
因此是奇函数

追问

不懂什么叫taylor展开= = 没关系你不用在这里详细解释了，在后面的微积分学习中能学到么？

追答

是的，你问的内容恰恰是在那个部分要学的。

Answer 2

为什么一定要多项式才能判断奇偶呢？
首先显然f(x)在R上有定义，其次f(-x) = -x / ((-x)^2 + 1) = -( x/(x^2 + 1) ) = -f(x)，所以f(x)是odd function。