Question

如图四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形 角ABC=60 BC=2AB PA垂直于底面ABCD

（1）求证PB垂直于AC
(2)若PA=AB=1时，求二面角B-PC-D的余弦值
（3）当PA=AB=1时，在线段AD上是否存在一点E使二面角E-PC-A为60度，若存在试确定点E的位置；若不存在，请说明理由

Answer 1

解答：（1）等价于求证AC⊥平面PAB，所以只需要证明AC⊥AB即可。一直BC,AB， 角ABC=60 ，所以很容易想到用余弦定理。算出AC^2=3，所以△ABC的三条边满足勾股定理，并且AC是直角边，所以PB垂直于AC
（2）过A点做AF⊥PC交PC于F，链接BF，于是二面角B-PC-D的余弦值就等于角BFA的余弦值的相反数（容易证明DC⊥平面PAC，然后再利用分解的方法，把二面角B-PC-D拆成角BFA和角DCP之和即可）AB=1 PC=BC=2，所以AF^2=3/4，所以（cosAFB）^2=3/7，二面角B-PC-D的余弦值等于七分之三开二次根号之后取负即可
（3）容易知道E在AD上运动时，二面角E-PC-A在0到90°之间，E点肯定存在。我们取平面PAD上一点G，链接FG，让FG垂直PC，并且角AFG=60°（G点是一定存在的），连接PG并延长，和AD教育一点H，那么H点就是我们要找的E点。
如果用纯粹几何的方法来求，比较麻烦了，所以下面我们换一种方法，用坐标的方法。在A点建立直角坐标系进行坐标化AD为y轴，AP为z轴（x轴用右手定理来确定就可以了），设E(0，n，0)，于是PE=(0，n，-1)，同时写出CE的坐标CE=(-【3/4】^0.5，n-1.5，0)，然后利用向量的叉积，写出两个平面的方向向量坐标π1=（n-1.5，【3/4】^0.5，，n*[【3/4】^0.5]），π2就是B点的坐标(（3/4）^0.5，-0.5,0）最后再利用两方向向量夹角为60°或120°，求出n=6（舍掉）或者1.2，所以n=1.2

追问

（2）（3）问不怎么看得懂啊....

追答

关于第二个问，二面角B-PC-D分解为两个二面角：B--PC--A和D--PC--A两个二面角之和。而DC⊥AC，PA垂直AC，所以D--PC--A就是90°，然后根据三角变换容易知道cos（90°+B-PC-D）=-cos（B-PC-D）
第三道题我没有用中学的空间解析几何方法（仅仅在前面做出了图形，但是没有计算），计算的时候用了大学里面的一点知识。两平面的夹角就是他们方向向量的夹角或者补角，后面用的就是向量叉积的坐标计算方法了，你稍微看一下高等数学空间解析几何那一部分知识就会知道。

Answer 2

（1）∵底面ABCD是平行四边形 角ABC=60 BC=2AB
∴AB⊥AC
又∵PA垂直于底面ABCD
∴PA⊥AC
又∵AB与PA交于点A
∴AC⊥△PAB
∴AC⊥PB

三垂线定理；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．

追问

后两问呢？？

Answer 3

如图，你可以先【点击放大图片】（虽然更不清楚，没关系），再把【图片另存为】桌面。就可以预览。

第一题，显然，可以用三垂线定理。

第二与第三题，我花了一个图，你可以完全都利用“异面直线上两点间的距离”公式。来处理。