Question

已知椭圆C：x2/a2+y2/b2=1的离心率为根号2/2，且曲线过点（1，根号2/2）

已知直线x-y+m=0与椭圆c交于不同的两点A、B，且线段AB的中点不在圆x2+y2=5/9内，求m的取值范围 （这题没有错别字啊！！）

Answer 1

e=c/a=根号2/2 a=√2c a=√b a^2=2b^2
曲线过点（1，根号2/2）
1/a^2+1/2b^2=1 a^2=2 b^2=1
椭圆方程 x^2/2+y^2=1
直线x-y+m=0与椭圆c交于不同的两点A、B 设A(x1,y1) B(x2,y2) 代入椭圆方程
x1^2/2+y1^2=1
x2^2/2+y2^2=1 相减 得
(x1-x2)(x2+x2)/2+(y1-y2)(y1+y2)=0
线段AB的中点M(x0,y0) x1+x2=2x0 y1+y2=2y0 (y1-y2)/(x1-x2)=k=1
x0+2y0=0 x0=-2y0
x0^2+y0^2>=5/9
5y0^2>=5/9 y0>=1/3或y0<=-1/3
x0<=-1/6或x0>=1/6
x0-y0+m=0 m=y0-x0
m>=1/2或m<=-1/2
又直线x-y+m=0与椭圆c交于不同的两点A、B
联立 消x得
3y^2+2my+(m^2-2)=0
判别式=4m^2-12(m^2-2)=-8m^2+24>0
m^2<3
-√3<m<√3
所以m的取值范围 -√3<m<=-1/2或1/2<=m<√3