Question

这个变上限积分求导的题，求解题步骤和过程

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Answer 1

两边求导得：xf(x)=2x+f '(x) 这是微分方程
将x=0代入原式得：f(0)=0 这是初始条件
下面先解微分方程：f '档野(x)+xf(x)=-2x
这是一阶线性微分方程，代公式贺链
f(x)=e^(-∫xdx)[∫ 2xe^(∫xdx)dx+C]
=e^(-x^2/2)[∫ 2xe^(x^2/2)dx+C]
=e^(-x^2/2)[∫ e^(x^2/2)d(x^2)+C]
=e^(-x^2/2)[2e^(x^2/2)+C]
将x=0代入得f(0)=2+C，得C=-2
f(x)=e^(-x^2/2)[2e^(x^2/2)-2]=2-2e^(-x^2/禅蠢孙2)

Answer 2

等式两边对x求导得xf(x)=2x+f'(x)，即(e^(-x^2/2)f(x)-2e^(-x^2/2))'=e^(-x^2/2)(f'(x)-xf(x)+2x)=0，故
e^(-x^2/2)f(x)-2e^(-x^2/2)为常数银银。显雀悉然f(0)=0，代锋岁宴入得常数为－2，于是有f(x)=2-2e^(x^2/2)