Question

函数f(x)的图像与函数g(x)=(1/2)^x的图像关于直线y=x对称，则f(2x-x^2)的单调减区间为？要过程。

Answer 1

函数f(x)的图像与函数g(x)=(0.5)^x的图像关于直线y=x对称
即f(x)是g(x)=0.5^x的反函数.
那么有:f(x)=log0.5 x
f(2x-x^2)=log0.5 (2x-x^2)
设w(x)=x^2-2x
则当w(x)单调递增时y单调递减
问题转化为求w(x)的单调递增区间
w(x)是个二次函数，即当x>=1（对称轴）时w(x)单调递增
所以，当x>=1时y单调递减
所以y的单调递减区间是[1,+无穷）

Answer 2

由于f(x),g(x)图像关于y=x对称
则f(x),g(x)互为反函数
则：f(x)=g(x)的反函数=log(1/2)(x)
则：f(2x-x^2)=log(1/2)(2x-x^2)
则其定义域满足：
2x-x^2>0
则：x属于(0,2)
设u=2x-x^2
则：f(u)=log(1/2)(u)在定义域内单减
u=2x-x^2=-(x-1)^2+1在(0,1]上单增，在(1,2)上单减
由复合函数单调性得：
f(2x-x^2)单调减区间:(0,1]

Answer 3

这个答案是正确的。
由于f(x),g(x)图像关于y=x对称
则f(x),g(x)互为反函数
则：f(x)=g(x)的反函数=log(1/2)(x)
则：f(2x-x^2)=log(1/2)(2x-x^2)
则其定义域满足：
2x-x^2>0
则：x属于(0,2)
设u=2x-x^2
则：f(u)=log(1/2)(u)在定义域内单减
u=2x-x^2=-(x-1)^2+1在(0,1]上单增，在(1,2)上单减
由复合函数单调性得：
f(2x-x^2)单调减区间:(0,1]