Question

数学题 第三问

Answer 1

第一种解法：
意思是B旋转后的点是C，O旋转后的点是D
已知AB＝（-3,4），AO=(3,0). 所以|AB|=5,|AO|=3，设顺时针旋转角为α，所以得到AC＝5(cosα,-sinα),AD=3(cosα,-sinα)
(1):如果D落在AB边上，即AD平行于AB，-cosα=-3sinα/4，由此可求出tanα=4/3,可得sinα=4/5(或-4/5), cosα=3/5(或-3/5)，所以AD=3(3/5,-4/5)（或3(-3/5,4/5)），由此可得到D点的坐标（略）
(2)BC平行于x轴，则有BC=(5cosα+3,-5sinα-4)，如果平行于x轴，-5sinα-4=0, sinα=-4/5。而cosβ=4/5，所以α=-(pi/2-β)+2k pi（或3pi/2-β+2k pi），其中k为整数。
(3)OD=(3cosα-3,-3sinα)。所以 -tanβ=-3sinα/(3cosα-3)，所以可求出sinα,cosα，从而求出D点的坐标，最后得到CD的解析式。

第二种解法：
C(3+(3√3+4)/10,(4√3-3)/10)
∠ABO=β,则∠BAO=90°-β
又有tanβ=AO/BO=3/4故sinβ=3/5 cosβ=4/5
AB=5 顺时针旋转以后，AC=AB=5
取x轴上A右边一点为E，则∠CAE=180°-（α+（90°-β））=β+30°
所以C（xc，yc）坐标为：
xc=xa+AC*cos∠CAE=3+5*cos（β+30°）
yc=ya+AC*sin∠CAE=0+5*sin （β+30°）
cos（β+30°）=cosβcos30°-sinβsin30°=4/5*√3/2-3/5*1/2=(3√3+4)/10
sin （β+30°）=sinβcos30°+cosβsin30°=3/5*√3/2+4/5*1/2=(4√3-3)/10、
所以
C(3+(3√3+4)/10,(4√3-3)/10)

注：
tanβ是指直角三角形中β的对边/另外一条直角边的值
sinβ是指直角三角形中β的对边/斜边的值
cosβ是指直角三角形中和角β紧邻的直角边/斜边的值
PS：这里只说了β<90°的情况