Question

高数中一元定积分求平面图形面积的疑问

比如计算函数y^2=x和y=x^2在[0.1]上围城的面积。
为什么要把一小段△x对应的矩形面积用dA（dA=f（ξ）dx，ξ∈[x,x+△x]）来表示？
就是说dA为什么等于[x,x+△x]上的矩形面积？
那f（ξ）就是A=g（x）在x点的导数？
不好意思我原问题没表达清楚，其实是这样。
假定函数y=f（x），A表示在区间[x0,x0+△x]上的曲边梯形面积。
在区间[x0,x0+△x]上以f（x0）为高，△x为底的矩形面积为什么可以用dA（A的微分）来表示？或者说如何理解A - A的微分=矩形上面一小段弧形的面积？

Answer 1

这个是积分的几何意义

用的是极限思想

dA就是将x分为无数个小块，然后用每个小块乘以f(x)（即它的高）

你先想象一个特殊情况：长方形

长方形也可以如此分块，分成无数个小长条。

f(x)dA用的就是这个思想，当△x→0之后，x就被分割了

追答

当然了 这是微分的定义.
你按照莱布尼茨公式求出来的是满足相差高阶无穷小的

文章看得我有点晕

Answer 2

所谓积分就是将所求面积细分为一系列的矩形，将其逐步细化后再求出众矩形的面积和作为所求面积，若直接取x点的值则始终是近似。现在知道若将矩形的数目无线增多，最后计算和的极限，得到的结果就可以用其导函数取得F(b)-F(a)

Answer 3

选矩形面积是因为矩形好算，实际取微元△x的形状也近似矩形。dA可能是delta area的意思，只是一个符号表示微元的面积而已。把导数的定义和几何学上的面积计算方式结合在一块就明白f（ξ）为什么是A=g（x）在x点的导数了。