Question

已知实数x.y满足x的平方+y的平方=2x，求x的平方乘以y的平方的取值范围

已知实数x.y满足x的平方+y的平方=2x，求x的平方乘以y的平方的取值范围

Answer 1

x²+y²=2x
∴(x-1)²+y²=1
∴可设
x=1+cost
y=sint
∴x²y²
=[sint(1+cost)]²
易知,
sint=2sin(t/2)cos(t/2)
1+cost=2cos²(t/2).
设a=sin²(t/2)
b=cos²(t/2)
易知,1=a+b
且x²y²=[4sin(t/2)cos³(t/2)]²=16sin²(t/2)[cos²(t/2)]³=16ab³
即x²y²=16ab³
由基本不等式可知
1=a+b
=a+(b/3)+(b/3)+(b/3)≥4(ab³/27)^(1/4)
∴ab³≤27/256
∴16ab³≤27/16
∴0≤x²y²≤27/16
∴x²y²∈[0, 27/16]

Answer 2

x*x+y*y=2x
即（x-1）方+y*y=1所以（x-1）方《=1解得0《=x《=2
x*x*y*y=*x*x（2x-x*x）=-x^4+2x^3
x=0时为0求导可知（0 2/3）增函数（2/3 2）减函数
x=2时也是0
x=2/3时32/81
所以（0 32/81） 极值可取

Answer 3

上面那位，求导不是x=3/2吗！带入公式，得值27/16