Question

问2条高一简单的数学对数函数题，坐等答案~~~

1.判断函数f(x)=lg(√（x^2+1）-x)的奇偶性和单调性
2.试探究方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)(a∈R)的实数解的个数
第一题奇偶性是奇,,,但是不知怎么求得的单调性是偶的...
第二题答案说是①a小于等于1或大于13/4无解②3<a<13/4有2个解③a=13/4或1<a小于等于3一个解
。但个人认为是①a小于等于1或大于13/4无解②a=13/4一个解③1<a<13/4两个解....
a在（1,3）或（3,14/3）会影响解的个数吗

Answer 1

(1)f(x)+f(-x)=lg[√(x^2+1)+x]+lg[√(x^2+1)-x]
=lg{[√(x^2+1)]+x}{[lg√(x^2+1)]-x}
=lg(x^2+1-x^2)=lg1=0
∴f(x)+f(-x)=0→f(x)=-f(-x)
∴是奇函数
(2)lg(x-1)(3-x)=lg(a-x)
∴真数相同
∴-x^2+4x-3=a-x
x^2-5x+3+a=0
△=25-12-4a=13-4a
∴当△>0时，a<13/4，此时对数方程有两不等实根
当△=0，a=13/4时有两相等实根
当△<0，a>13/4时无根

追问

奇偶性求出来了...单调性呢
答案说第二题要考虑x的定义域的~

追答

定义域为R
令g(x)=[√(x^2+1)]-x
设x1√x1^2=|x1|≥-x1，所以√(x1^2+1)+x1>0
同理，√(x2^2+1)+x2>0
所以[√(x1^2+1)+x1]+[√(x2^2+1)+x2]>0
又x1-x20
所以g(x1)-g(x2)<0
g(x1)<g(x2)，所以g(x)在定义域内是增函数
∵f(x)=lgg(x)
∴增增复合为增，f(x)为增函数

Answer 2

定义域为R
令g(x)=[√(x^2+1)]-x
设x1<x2，且都属于R
则g(x1)-g(x2)
=[x1+√(x1^2+1)]-[x2+√(x2^2+1)]
=(x1-x2)+[√(x1^2+1)-√(x2^2+1)]
=(x1-x2)+[(x1^2+1)-(x2^2+1)]/[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]
=(x1-x2)+(x1-x2)(x1+x2)/[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]
=(x1-x2){[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]+(x1+x2)}/[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]
=(x1-x2){[√(x1^2+1)+x1]+[√(x2^2+1)+x2]}/[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]
因为√(x1^2+1)>√x1^2=|x1|≥-x1，所以√(x1^2+1)+x1>0
同理，√(x2^2+1)+x2>0
所以[√(x1^2+1)+x1]+[√(x2^2+1)+x2]>0
又x1-x2<0，√(x1^2+1)+√(x2^2+1)>0
所以g(x1)-g(x2)<0
g(x1)<g(x2)，所以g(x)在定义域内是增函数
∵f(x)=lgg(x)
∴增增复合为增，f(x)为增函数

Answer 3

(1)f(x)+f(-x)=lg[√(x^2+1)+x]+lg[√(x^2+1)-x]
=lg{[√(x^2+1)]+x}{[lg√(x^2+1)]-x}
=lg(x^2+1-x^2)=lg1=0
∴f(x)+f(-x)=0→f(x)=-f(-x)
∴是奇函数

Answer 4

你可以用定义来证明函数的奇偶性，一步一步的来。