Question

一道初中数学题，答案我知道，需要解题思路和步骤，谢谢

平面直角坐标系中,已知A(-1,4),B(4,9),设P(n,0)为x轴上一点，若角APB=45°，则n等于多少。答案是1或者7.请问怎么做的啊

Answer 1

首先求直线AP、BP的斜率。
直线AP的斜率k1=-4/(n+1)
直线BP的斜率k2=-9/(n-4)
由于P在x轴上，且A在B的左边，所以直线AP与x轴的夹角更大。
利用公式tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanA*tanB)
tan45°=(k1-k2)/1+(k1*k2)
因为tan45°=1
所以k1-k2=1+k1*k2
-4*(n-4)+9*(n+1)=(n-4)*(n+1)+36
n^2-8n+7=0
解得n=1或7

追问

不好意思，这个是一道初中数学题，利用一次函数，相似或者锐角三角函数怎么求呢？你的这种方法需要高中解析几何的。。麻烦您帮忙想一下，还有其他方法么

追答

A(-1,4),B(4,9)
AB斜率为1，所以AB与x轴夹角为45°。（也可以做水平线和垂线，找等腰直接三角形。目标是这个45°）

由正弦定理
AB/sin45°=2R
R为三角形ABP外接圆半径。
因为AB＝5√2
所以R=5

由于外接圆圆心O到A、B两点的距离相等，所以O在AB的垂直垂直平分线上。令AB的中点为C。
则AC=5/√2。
由勾股定理得到OC=5/√2=AC。
所以三角形AOC是等腰直角三角形。
因此角CAO=45°
由于AB与x轴夹角为45°，所以AO与x轴平行。又因为AO=R=5，所以O的坐标为(4,4)。
点P到O的距离为R，即5。由两点间距离公式，(n-4)^2+(-4)^2=5^2
解得n=1或7。
其实就是勾股定理= =

Answer 2

你可以这么想：
∠APB=45°，设A,B,P三点均为圆O上的点，则∠AOB=90°，
过A作AC⊥x轴于C，过B作BD垂直于x轴于D，过A作AE⊥BD于E，
∵A（-1,4）B(4,9)∴AE=BE=5
易证E与O重合，则在Rt三角形PDE中，易证PD=3
n=1或7

Answer 3

解：设下降了X厘米，得方程 5*5*π*X=546