Question

已知函数f(x)=1/2ax^2-2x+2+lnx,a∈R，设a≥1，若对任意x1,x2∈（0,1]，

都有绝对值（x1-x2）≤绝对值(f(x1)-f(x2)),求实数a的取值范围

Answer 1

∵a≥1∴f（x）在（0，1］上单调递增
1。当x1=x2时，不等式成立，a≥1
2。不妨设x1＞x2,则x1-x2≤f(x1)-f(x2)
所以f(x2)-x2≤f(x1)-x1
令g(x)=f(x)-x
=1/2ax^2-3x+2+lnx
∵g(x)在（0，1］上是不增函数
∴g’(x)=ax-3+1/x≥0
∴a≥3/x-1/x^2(参变量分离)
令1/x=t,则a≥3t-t^2
=-(t-3/2)^2+9/4
即a≥9/4 (恒成立问题)
综上1.2.a≥9/4

Answer 2

∵a≥1∴f（x）在（0，1］上单调递增
1。当x1=x2时，不等式成立，a≥1
2。不妨设x1＞x2,则x1-x2≤f(x1)-f(x2)
所以f(x2)-x2≤f(x1)-x1
令g(x)=f(x)-x
=1/2ax^2-3x+2+lnx
∵g(x)在（0，1］上是不增函数
∴g’(x)=ax-3+1/x≥0
∴a≥3/x-1/x^2(参变量分离)
令1/x=t,则a≥3t-t^2
=-(t-3/2)^2+9/4
即a≥9/4 (恒成立问题)
综上1.2.a≥9/4

Answer 3

请问您是高中生还是大学生，如果是大学生，这道题用高等数学的方法求个导就可以了，简单来说是在一个初等函数中的任意两点必然满足，在这两点之间有一点，在这一点处有F'(X)=f(x1)-f(x2)/(x1-x2)所以本题只要函数在（0，1]上导函数的最值知道就可以了