Question

利用函数的单调性证明当x>0时，x-(x^2)/2<ln(x+1),求过程！

Answer 1

设f(x)=x-(x^2)/2-ln(x+1), f'(x)=1-x-1/(x+1)=-(x^2)/(x+1)，因为x+1>0,所以f'(x)<0，所以减函数。
因为x>0，所以f(x)>f(0)，即x-(x^2)/2-ln(x+1)>0，所以x-(x^2)/2<ln(x+1),

Answer 2

设f（x）=x-(x^2)/2-ln(x+1)（x≥0），则f′（x）=1-x-1/（x+1）=2-[（1+x）+1/（1+x）]≤2-2√1=0
∴f（x）在[0，＋∞）上单调递减，f（x）最大值为f（1）=0-0-0=0
∴x＞0时，f（x）=x-(x^2)/2-ln(x+1)＜0 ∴x-(x^2)/2<ln(x+1)

Answer 3

令 f(x)=x-x²/2-ln(x+1)
对f(x)关于x求导，得
f'(x)=1-x-1/(x-+1)=-x²/(x+1)
当 x>0时，f'(x)=-x²/(x+1)恒小于0
因此 ，f(x)在x>0 时单调递减
.由于 f(0)=0
所以，f(x)<0
即 x-x²/2<ln(x+1)