Question

旋转体的问题

A(2,0,0) B(0,1,2)
AB绕Z轴旋转一周得到曲面S，请问当0≤a≤2时，曲面S和平面z＝a相交的圆方程是什么？
求高手解答，不要灌水

Answer 1

AB间是什么曲线？线段吗？
我先按线段来做，直线AB方程为(x-2)/-2=y/1=z/2，令其为t
可得参数方程为：x=2-2t，y=t，z=2t
绕z轴的旋转曲面方程为：
x=√[(2-2t)^2+t^2]*cosθ
y=√[(2-2t)^2+t^2]*sinθ
z=2t
前两式平方求和后为：x^2+y^2=[(2-2t)^2+t^2]
即：x^2+y^2=5t^2-8t+4
将z=2t代入得：x^2+y^2=5/4z^2-4z+4，这就是旋转曲面方程，双曲面
令z=a得：x^2+y^2=5/4a^2-4a+4
相交圆的方程为：x^2+y^2=5/4a^2-4a+4，且z=a

追问

答案是正确的！
请问得到线段方程后，绕轴旋转得到的曲面方程是怎么得来的，有相关的公式吗，绕任意直线呢？

追答

绕任意直线的没有，只有绕坐标轴的
若参数方程为：x=φ(t)，y=ψ(t)，z=ω(t)
则绕z轴旋转的曲面参数方程为：
x=√[φ(t)^2+ψ(t)^2]*cosθ，
y=√[φ(t)^2+ψ(t)^2]*sinθ，
z=ω(t)
前两个方程只要一平方和就能消去θ，然后再和第三个方程消去t就行了。