Question

微积分问题：判断下列级数的敛散性。 ∑（n=1→∞）（-1）^(n-1)*(1-cos(a/根号n))

Answer 1

加绝对值变成∑（n=1→∞）(1-cos(a/根号n))
用比较判别法的极限形式，n-->无穷大
lim(1-cos(a/根号n))/(1/n^2)=lim(1/2(a/n)^2)/(1/n^2)=1/2a^2
因此级数敛散性与 ∑(1/n^2)相同，而∑(1/n^2)收敛，则原级数绝对收敛

追问

im(1-cos(a/根号n))/(1/n^2)=lim(1/2(a/n)^2)/(1/n^2)=1/2a^2
这一步·如何得来的？

追答

看错了，没看见那个根号
1-cos(a/根号n)的等价无穷小是(1/2)a^2/n
重做本题，上面作废

lim(1-cos(a/根号n))/(1/n)=lim(1/2a^2/n)/(1/n)=1/2a^2
因此级数敛散性与 ∑(1/n)相同，而∑(1/n)发散，则原级数加绝对值后发散
但由于∑(-1)^(n-1)(1/n)是条件收敛的，因此原级数条件收敛。

追问

为什么可以用等价无穷小？n<∞的项怎么解释？
可是只是加绝对值之后的和∑（1/n）有相同敛散性，什么定理可以得出这一步：但由于∑(-1)^(n-1)(1/n)是条件收敛的，因此原级数条件收敛。求解释。

追答

因为n-->无穷大时，1-cos(a/根号n)的极限为0，所以可以用等价无穷小代换
∑(-1)^(n-1)(1/n)是条件收敛的原因是用莱布尼兹判别法判断的
由于原级数与它是同阶无穷小，因此用莱布尼兹判别法也是可以判别的。这个没有定理的，但如果你用莱布尼兹判别法来判断原级数，与判断∑(-1)^(n-1)(1/n)的效果肯定是一样的，因为莱布尼兹判别法主要就是看是否正负相间，这个比较显然，还有就是绝对值是否递减，它们既然是同阶无穷小，这种递减关系肯定是一致的，所以拿这个判断也行。如果你认为没有定理支持就不想用，那也可以对原级数用莱布尼兹判别法，也不是太难。

Answer 2

条件收敛
－－－－－－－－
设a＞0，记un=1-cos(a/√n)，因为un=1-cos(a/√n)等价于1/2*(a/√n)^2＝a^2/2*1/n，因为∑1/n发散，所以∑un发散，所以原级数不绝对收敛。
当n很大时，a/√n＜1，所以去掉级数的前有限项后，由cos(a/√n)的单调增加知道｛un｝单调减少，又un当n→∞时的极限是0，所以由莱布尼兹定理，原级数收敛。
综上，原级数条件收敛

Answer 3

lim(n→+∞) 1-cos(a/√n)=lim(n→+∞) (a/√n)²/2 （使用等价无穷小cosx～1-x²/2）
)=lim(n→+∞) a²/2n，所以取绝对值后的级数敛散性与 ∑(1/n)相同，是发散的
原级数每两项配对，当n→+∞时有An+1/An=[1-cos(a/√n+1)]/[1-cos(a/√n)]
=[(a/√n+1)²/2]/[(a/√n)²/2]=n/n+1→1，且由余弦函数性质，n足够大时1-cos(a/√n)是减函数，则
原级数收敛，所以此级数为条件收敛