Question

已知三角形ABC的三边为a.b.c,并且a的平方+b的平方+c的平方=ab+bc+ca

求证 此三角形为等边三角形

Answer 1

a²+b²+c²=ab+bc+ca
a²+b²+c²-ab-bc-ac=0
两边乘2
2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac=0
(a²-2ab+b²)+(b²-2bc+c²)+(c²-2ac+a²)=0
(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0
平方大于等于0，相加等于0，若有一个大于0，则至少有一个小于0，不成立。所以三个都等于0
所以a-b=0,b-c=0,c-a=0
a=b,b=c，c=a
所以a=b=c
所以是等边三角形

Answer 2

证明
∵(a-b) ²=a²+b²-2ab
(b-c) ²=b²+c²-2ac
(c-a) ²=a²+c²-2ac
∴ (a-b) ²+(b-c) ²+(c-a) ²
=2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ca
＝2（a²+b²+c²）-2（ab+bc+ca）
∵a²+b²+c²=ab+bc+ca
∴(a-b) ²+(b-c) ²+(c-a) ²＝0
∴a=b,b=c,c=a
∴a=b=c
∴此三角形为等边三角形

Answer 3

证明
a²+b²+c²=ab+bc+ca
a²+b²+c²-ab-bc-ac=0
a²-ab+ac+b²+c²-bc＝0
化为：
a²-(b+c)a+(b²+c²-bc)＝0
解a= { (b+c)+√[(b+c)²-4（b²+c²-bc）] }
/2或= { (b+c)-√[(b+c)²-4（b²+c²-bc）] }
/2
故化√里有(b+c)²-4（b²+c²-bc）= -3（b-c)²≥ 0,在-3（b-c)²≥ 0式中显然看出只有b=c，a才有实数解。
同理解关于b²-（a+c）b+a²+c²-ac＝0 得a=c， b才有实数解。故a=b=c，故为等边三角形