Question

⊙O1与⊙O2外切于点P，过点P的直线分别交⊙O1、⊙O2于点B、A，⊙O1的切线BN交⊙O2于点M、N，AC为⊙O2的弦

(1)如图(1)设弦AC交BN于点D，
求证：AP•AB＝AC•AD；
(2)如图(2)，当弦AC绕点A旋转，弦
AC的延长线交直线BN于点D时，试问：
AP•AB＝AC•AD是否仍然成立？证明你的结论．

Answer 1

证明：
1）
连接PC，过P作两圆的公切线EF，EF交BC于G
因为BM、EF是⊙O1的切线
所以BG＝PG
所以∠B＝∠BPG
因为EF是⊙O2的切线
所以∠APE＝∠C（弦切角定理）
因为∠APE＝∠BPG
所以∠B＝∠C
又因为∠BAD＝∠CAP
所以△BAD∽△CAP
所以AB/AC＝AD/AP
所以AP*AB＝AC*AD
2）
若弦AC绕A旋转，其延长线与BN交于D,上面的结论也成立
证明：（过程与上小题一样）
连接PC，过P作两圆的公切线EF，EF交BC于G
因为BM、EF是⊙O1的切线
所以BG＝PG
所以∠B＝∠BPG
因为EF是⊙O2的切线
所以∠APE＝∠C（弦切角定理）
因为∠APE＝∠BPG
所以∠B＝∠C
又因为∠BAD＝∠CAP
所以△BAD∽△CAP
所以AB/AC＝AD/AP
所以AP*AB＝AC*AD